라몽-라몽 장

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 각 이론에서의 장
3. 성질
4. 꼬인 K-이론과의 관계
5. 역사와 어원
참조

1. 개요

라몽-라몽 장은 초끈 이론에서 발생하는 p-형식의 장으로, IIA형 초중력과 IIB형 초중력 이론에 따라 다른 차수의 장이 존재한다. 이 장은 미분 형식 포텐셜과 장력으로 구성되며, 게이지 변환에 따라 변환되고, D-브레인과 상호작용한다. 라몽-라몽 장은 꼬인 K-이론과 관련이 있으며, '라몽-라몽'이라는 이름은 라몽 경계 조건을 따르는 상태에서 유래되었다.

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라몽-라몽 장

2. 정의

각 $0\le p\le4$ 에 대하여, p-형식의 라몽-라몽 장을 생각할 수 있다. 대개 기호를 $C_p$ 로 쓴다. 이에 해당하는 장력 (field strength)은 다음과 같다.

: $\mathrm dC_p=G_{p+1}$

IIA형 초중력에서는 홀수 $p$ ( $p=1,3$ )만이 존재하며, IIB형 초중력에서는 짝수 $p=0,2,4$ 만이 존재한다. ( $p=4$ 인 경우, $C_4$ 는 $\mathrm dC_5=\star \mathrm dC_5$ 조건을 따른다.) 쌍대화를 통하여 모든 홀수 (또는 짝수) 차수의 라몽-라몽 장을 정의할 수 있다.

: $\mathrm dC_{10-p} = \star\mathrm dC_p$

IIB 초끈 이론에서, 스칼라 라몽-라몽 장 $C_0$ 은 흔히 '''액시온'''이라고 불린다.

2. 1. 각 이론에서의 장

고전 전자기학과 그 일반화인 p-형식 전기역학에서처럼, 라몽-라몽 장은 p-형식 포텐셜 ''C''_''p''와 (''p'' + 1)-형식 장력 ''G''_''p''+1로 구성된다. 장력은 일반적으로 포텐셜의 외미분으로 정의된다. ''G''_''p''+1 = ''dC''_''p''.

IIA형 초중력에서는 ''p'' = 1 및 ''p'' = 3에 대한 장이 존재한다. IIB형 초중력에서는 ''p'' = 0, ''p'' = 2 및 ''p'' = 4에 대한 장이 존재하지만, ''p'' = 4 장은 자기 이중성 조건 ''G''₅ = *''G''₅를 만족해야 한다. 여기서 *는 호지 별표이다. 로마 IIA형 초중력은 로마 질량이라고 불리는 장력 ''G''₀를 포함하며, 0-형식이므로 해당 연결이 없다.

3. 성질

라몽-라몽 장은 미분 형식 전기역학을 따르며, 비안키 항등식을 만족한다.

: $0=d^2C_p=dG_{p+1}.$

운동 방정식은 다음과 같다.

: $0=d*G_{p+1}$

일반적으로, 작용에 천-사이먼스 항이 추가될 수 있으며, 이는 그린-슈워츠 메커니즘에서 중요한 역할을 한다.

10차원 $\mathcal N=2$ 초중력에서, 라몽-라몽 장에 대하여 대전된 검은 막을 구성할 수 있다. $C_p$ 에 대하여 대전된 검은 막은 초끈 이론에서 D $(p-1)$ -막에 해당하며, D-브레인은 라몽-라몽 장의 소스 역할을 한다. D-브레인은 RR ''p''-형식 ''C''_7−''p''에 대해 자기적으로 하전되며, Dp-브레인은 (''p'' + 1)-형식 C_p+1에 대해 전기적으로도 하전된다. 이는 전자기학에서 자기 홀극과 유사하게 해석할 수 있다.

3. 1. 게이지 변환

II형 초중력 라그랑지안은 미분 동형 사상 및 국소 초대칭 변환과 같은 여러 국소 대칭에 대해 불변하며, 다양한 형식-장들은 Neveu–Schwarz 및 Ramond–Ramond 게이지 변환에 따라 변환된다.

민주적 공식에서 작용을 불변하게 하는 게이지 포텐셜의 Ramond–Ramond 게이지 변환은 다음과 같다.

:

C_p\rightarrow C_p+d\Lambda_{p-1}+H\wedge\Lambda_{p-3}

여기서 H는 Neveu–Schwarz 3-형식 장 강도이고 게이지 매개변수

\Lambda_q

는 q-형식이다. 게이지 변환이 다양한

\Lambda_q

를 혼합하므로, 각 RR 형식은 동일한 게이지 매개변수를 사용하여 동시에 변환되어야 한다. 전기-자성에 유사성을 갖지 않는 H-의존적 항은 II형 초중력 이론에 존재하는 Chern–Simons 항의 작용에 대한 기여를 보존하기 위해 필요하다.

동일한 게이지 변환에 해당하는 여러 게이지 매개변수가 있다. 특히, (''d'' + ''H'')-닫힌 형식을 Lambda에 추가할 수 있다. 따라서 양자 이론에서는 게이지 변환을 게이지해야 하고, 그 다음에는 차원이 충분히 낮아질 때까지 이러한 변환을 게이지해야 한다. 파데예프-포포프 양자화에서 이는 일련의 유령을 추가하는 것에 해당한다. 수학적으로, H가 사라지는 경우, 결과 구조는 시공간의 델리뉴 코호몰로지이다. 자명하지 않은 H의 경우, 디랙 양자화 조건을 포함한 후, 대신 미분 K-이론에 해당한다고 추측되었다.

게이지 변환에 H 항이 있기 때문에 장 강도도 자명하지 않게 변환된다.

:

G_{p+1}\rightarrow G_{p+1}+H\wedge d\Lambda_{p-3} .

3. 2. 개선된 장세기

다음과 같이 종종 개선된 장세기를 도입한다.^[1]

:

F_{p+1}=G_{p+1}+H\wedge C_{p-2}

이는 게이지 불변이다.^[1]

개선된 장세기는 게이지 불변이지만, 닫혀있지도 않고 양자화되어 있지도 않으며, 꼬인 닫힘(twisted-closed) 상태일 뿐이다.^[1] 이는 운동 방정식

dF_{p+1}=H\wedge F_{p-1}

을 만족한다는 뜻이며, 이는 단지 비앙키 항등식

0=d^2C_p

일 뿐이다.^[1] 또한 콤팩트 사이클에 대한 적분이 양자화되는 원래의 장세기로 다시 변환할 수 있다는 의미에서 "꼬인 양자화"되어 있다.^[1] 원래의 p-형식 장세기 G_p의 적분은 임의의 수축 가능한 p-사이클에 대해 해당 사이클과 연결된 D(8-p)-브레인 전하와 같다는 의미에서, D-브레인 전하에 의해 소스가 되는 것은 바로 원래의 장세기이다.^[1] D-브레인 전하는 양자화되어 있으므로, 개선된 장세기가 아닌 G_p가 양자화된다.^[1]

3. 3. 장방정식

라몽-라몽 장은 미분 형식 전기역학을 따르며, 비안키 항등식을 만족한다.

:

0=d^2C_p=dG_{p+1}.

운동 방정식은 다음과 같다.

:

0=d*G_{p+1}

일반적으로, 작용에 천-사이먼스 항이 추가될 수 있다. 이는 그린-슈워츠 메커니즘에서 중요한 역할을 한다.

3. 4. 대전된 물체

10차원

\mathcal N=2

초중력에서, 라몽-라몽 장에 대하여 대전된 검은 막을 구성할 수 있다.

C_p

에 대하여 대전된 검은 막은 초끈 이론에서 D

(p-1)

-막에 해당하며, D-브레인은 라몽-라몽 장의 소스 역할을 한다.

3. 4. 1. D-브레인과 라몽-라몽 장의 상호작용

D-브레인은 RR ''p''-형식 ''C''_7−''p''에 대해 자기적으로 하전된다. Dp-브레인은 (''p'' + 1)-형식 C_p+1에 대해 전기적으로도 하전된다. 이는 전자기학에서 자기 홀극과 유사하게 해석할 수 있다.

4. 꼬인 K-이론과의 관계

라몽-라몽 장(RR 장)과 D-브레인은 꼬인 K이론에 의해 분류될 것으로 추측된다.^[1] 이 틀 내에서 위 운동 방정식은 자연스러운 해석을 갖는다. 개선된 장 F에 대한 소스 없는 운동 방정식은 모든 F_p의 형식적 합이 H-꼬인 드람 코호몰로지의 원소임을 의미한다. 이것은 미분이 외미분 d가 아니라 (d+H)인 드람 코호몰로지의 한 버전이며, 여기서 H는 Neveu-Schwarz 3-형식이다. 코호몰로지가 잘 정의되기 위해 필요한 (d+H)는 제곱하면 0이 된다는 점에 유의해야 한다.

개선된 장 F는 양자에서 고전으로의 전환이 유리수를 곱하는 것으로 해석되는 고전 이론에서 나타난다. 따라서 F는 꼬인 K이론의 어떤 유리수 버전이어야 한다. 실제로 꼬인 K이론의 특성 클래스인 그러한 유리수 버전이 이미 알려져 있다. 이는 Peter Bouwknegt, Alan L. Carey, Varghese Mathai, Michael K. Murray, Danny Stevenson에 의해 https://arxiv.org/abs/hep-th/0106194 Twisted K-theory and the K-theory of Bundle Gerbes에서 정의되고 https://arxiv.org/abs/hep-th/0201010 Chern character in twisted K-Theory: Equivariant and holomorphic cases에서 확장된 꼬인 천 클래스이다. 저자들은 꼬인 천 지표가 항상 H-꼬인 드람 코호몰로지의 원소임을 보여주었다.

개선된 장과 달리 원래의 장 G는 꼬이지 않은 정수 코호몰로지 클래스이다. 또한 G는 게이지 불변이 아니므로 고유하게 정의되지 않고 대신 동치 클래스로만 정의될 수 있다. 이는 꼬인 K이론의 Atiyah Hirzebruch 스펙트럼 시퀀스 구성에서 코호몰로지 클래스에 해당하며, 일련의 미분 연산자에 대해 닫힌 항까지 정의된다.

소스 항은 K이론 클래스의 존재에 대한 장애물로 보인다. NS B-장을 변화시켜 얻은 것과 같은 다른 운동 방정식은 K이론 해석을 갖지 않는다. K이론 프레임워크에 이러한 보정을 통합하는 것은 열린 문제이다. 이 문제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하라.

5. 역사와 어원

'라몽-라몽 장'이라는 이름은 이러한 장들이 초끈 이론의 RNS 구성에서, 왼쪽 모드와 오른쪽 모드 둘 다 라몽 경계 조건(Ramond boundary condition^영어)을 따르는 상태에서 유래하기 때문이다. 라몽 경계 조건의 이름은 피에르 라몽의 이름을 딴 것이다.

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